Αριθμητικά συστήματα και μετατροπές.

Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές εκτελούν τις πράξεις χρησιμοποιώντας όχι το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, αλλά το δυαδικό που περιλαμβάνει τους δυαδικούς αριθμούς «1» και «0».

Τα κύρια αριθμητικά συστήματα Το πλέον χρησιμοποιούμενο σύστημα αρίθμησης, στην καθημερινή μας ζωή, είναι το δεκαδικό. Αυτό περιλαμβάνει τα ψηφία από 0 έως 9 και έχει σαν βάση του (base, radix) τον αριθμό 10. Παρατηρούμε ότι η βάση του συστήματος δεν ανήκει στα ψηφία του συστήματος, αλλά υπερβαίνει κατά μία μονάδα το μεγαλύτερο ψηφίο του.

Τα ψηφία που χρησιμοποιεί το κάθε σύστημα αρίθμησης είναι (για τα κύρια συστήματα): ΔYAΔIKO : 0, 1 OKTAΔIKO : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ΔEKAΔIKO : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ΔEKAEΞAΔIKO : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Συμπληρωματικά αναφέρουμε και τα στοιχεία ενός άλλου συστήματος αρίθμησης, του δωδεκαδικού (Duo-decimal), το οποίο χρησιμοποιήθηκε για τις διάτρητες κάρτες των υπολογιστών. Στο σύστημα αυτό μετά τα δέκα γνωστά ψηφία χρησιμοποιούνται τα γράμματα Τ (Τen) και Ε (Εleven). Η βάση του δυαδικού συστήματος είναι το 2, του οκταδικού το 8, και του δεκαεξαδικού το 16. Στο δεκαεξαδικό σύστημα, δεδομένου ότι περιέχει και ψηφία μεγαλύτερα του 9, χρησιμοποιούνται και τα έξι πρώτα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (A, B, C, D, E, F) για να αναπαρασταθούν τα υπόλοιπα ψηφία.

Μετατροπή από το δεκαδικό στο δυαδικό σύστημα

Έστω ότι έχουμε τον αριθμό 13₁₀, όπως στο αρχικό παράδειγμα. Γράφουμε τις δυνάμεις του 2, μέχρι να προκύψει αριθμός μεγαλυτερος ή ίσος από τον ζητούμενο αριθμό, οπότε σταματάμε.

2⁰=1
2¹=2
2²=4
2³=8

Στην προκειμένη περίπτωση ο ζητούμενος αριθμός είναι το 13, άρα σταματάμε στο 2³=8, γιατί 2⁴=16>13. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2³ χωράει μια φορά στο 13, άρα σημειώνουμε x1. To αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι 5. Το 2² χωράει μια φορά στο 5 άρα σημειώνουμε x1. Μένει 1 , όμως το 2¹ δε χωράει στο ένα άρα σημειώνουμε x0. Τέλος το 2⁰ χωράει μια φορά στο ένα , άρα σημειώνουμε x1.

13
-2³ x1
5
-2² x1
1
-2¹ x0
1
-2⁰ x1
0

Γράφοντας τις σημειώσεις στη σειρά από πάνω ως κάτω, προκύπτει ο αριθμός σε δυαδική μορφή. Δηλαδή, 1101₂ = 13₁₀. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να μετατρέψουμε έναν δεκαδικό αριθμό σε οποιοδήποτε σύστημα, χρησιμοποιώντας κάθε φορά τις δυνάμεις της βάσης του εκάστοτε συστήματος αρίθμησης (οκταδικό, δεκαεξαδικό κτλ.).

Μετατροπή από το δυαδικό στο δεκαεξαδικό σύστημα

Για την μετατροπή απο δυαδικό αριθμό σε δεκαεξαδικό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1. Αρχίζοντας από το δεξιότερο ψηφίο του δυαδικού αριθμού το χωρίζουμε ανά 4 ψηφία μέχρι το αριστερότερο ψηφίο.

  Εάν η αριστερότερη τετράδα δεν συμπληρώνει 4 ψηφία, προσθέτουμε 0 στα αριστερά μέχρι να σχηματιστεί ολοκληρωμένη τετράδα.

2. Υπολογίζουμε τον δεκαεξαδικό αριθμό που προκύπτει για κάθε τετράδα σύμφωνα με την παρακάτω μέθοδο:

  Αρχίζοντας απο δεξιά κάθε στοιχείο αντιστοιχεί σε: 
  1ο ψηφίο: 20
  2ο ψηφίο: 21
  3ο ψηφίο: 22
  4ο ψηφίο: 23
  Όπου υπάρχει το ψηφίο 1 στην δυαδική τετράδα, προσθέτουμε το πιο πάνω αντίστοιχο αποτέλεσμα. 
  Το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι σε δεκαδική μορφή. 
  Επομένως, απαιτείται μετατροπή του κάθε αριθμού σε δεκαεξαδικό αριθμό όπως στον παρακάτω πίνακα:
  

Τετράδα στο δυαδικό	Δεκαδικός αριθμός	Δεκαεξαδικός αριθμός
0000	0	0
0001	1	1
0010	2	2
0011	3	3
0100	4	4
0101	5	5
0110	6	6
0111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	Α
1011	11	Β
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

Πρόσθεση δυαδικών αριθμών

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 και 1 το κρατούμενο
1 + 1 + 1 = 1 και 1 το κρατούμενο

Έτσι για παράδειγμα, για να προσθέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους αριθμούς 121 και 107, έχουμε:

(121) 01111001
(107) 01101011 +
(228) 11100100

Όπου η πρόσθεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλ. από την λιγότερο σημαντική θέση.

Αφαίρεση δυαδικών αριθμών

Για την αφαίρεση των δυαδικών αριθμών ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες:

0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 και 1 το δανειζόμενο

Έτσι για παράδειγμα, για να αφαιρέσουμε σε μορφή ψηφιολέξης (byte) τους αριθμούς 121 και 107, έχουμε:

(121) 01111001
(107) 01101011 -
(014) 00001110

Όπου η αφαίρεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά, δηλ. από την λιγότερο σημαντική θέση.